| | Inhaltsverzeichnis | |
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| 1 | Grundkenntnisse von MATLAB ® | 1 |
| 1.1 | Bekanntschaft schließen mit MATLAB | 1 |
| 1.1.1 | Die Arbeitsoberfläche von MATLAB | 1 |
| 1.1.2 | Zum Einstieg: Berechnungen mit einfachen Zahlen | 2 |
| 1.1.3 | Weitere einfache Berechnungsbeispiele | 4 |
| 1.1.4 | Basiswissen zu MATLAB | 5 |
| 1.1.5 | Hintergrundinformation und Hilfefunktionen | 8 |
| 1.1.6 | Datenaustausch mit Files | 9 |
| 1.2 | Mathematische Grundlagen der Matrizenrechnung | 12 |
| 1.2.1 | Definitionen zur Matrizenrechnung | 12 |
| 1.2.2 | Indizieren der Matrixelemente | 15 |
| 1.2.3 | Das Transponieren einer Matrix | 16 |
| 1.2.4 | Addition und Subtraktion von Matrizen | 17 |
| 1.2.5 | Das Produkt von zwei Matrizen | 18 |
| 1.2.6 | Die Einheitsmatrix | 20 |
| 1.2.7 | Kann man auch durch Matrizen dividieren? | 21 |
| 1.3 | Matrizenrechnung in der Praxis mit MATLAB | 23 |
| 1.3.1 | Das Arbeiten mit M-Files und Funktions-M-Files | 23 |
| 1.3.2 | Einstieg in die Matrizenrechnung mit MATLAB | 26 |
| 1.3.3 | Einfache Beispiele von linearen Gleichungssystemen | 29 |
| 1.3.4 | Matrizen zur Darstellung von Daten | 31 |
| 1.4 | Einfache grafische Darstellungen mit MATLAB | 33 |
| 1.4.1 | Funktionsdarstellungen | 33 |
| 1.4.2 | Polygone, Kreise, Sterne | 36 |
| 1.4.3 | Flächenmalen | 39 |
| 1.5 | Übersicht über die wichtigsten Grundbefehle in MATLAB | 42 |
| 1.5.1 | In MATLAB definierte Operatoren und Grundbefehle | 42 |
| 1.5.2 | Das Definieren von Zahlen, Matrizen und Vektoren | 44 |
| 1.5.3 | Schleifen und Bedingungen | 45 |
| 1.5.4 | Mathematische Funktionen | 46 |
| 1.5.5 | Einige Hinweise zu Linienplots | 47 |
| | MATLAB Grundlagen aktivieren | 50 |
| | Checkliste zu Kapitel1 | 50 |
| | Übungen zum Kapitel 1 | 51 |
| | Miniprojekte zum MATLAB Einstieg | 59 |
| | Selbsttests zum Kapitel 1 | 59 |
| 2 | Auffrischen der Elementarmathematik | 61 |
| 2.1 | Basiswissen zum Funktionsbegriff | 61 |
| 2.1.1 | Funktionen als spezielle Relationen | 61 |
| 2.2 | Linienplots in MATLAB | 67 |
| 2.2.1 | Grundfunktionen kennenlernen mit MATLAB | 67 |
| 2.2.2 | Kurven in Parameterdarstellung – Lissajous-Figuren | 70 |
| 2.2.3 | Zykloiden | 72 |
| 2.2.4 | Spiralen | 73 |
| 2.2.5 | Mathematische Klassiker | 74 |
| 2.2.6 | Die „Versiera di Agnesi“ | 78 |
| 2.2.7 | Ausflug ins Dreidimensionale | 80 |
| 2.3 | Folgen und Reihen | 83 |
| 2.3.1 | Arithmetische Folgen und Reihen | 83 |
| 2.3.2 | Geometrische Folgen und Reihen | 86 |
| 2.3.3 | Die Anwendung bei Zinsberechnungen | 88 |
| 2.3.4 | Beherrschbare Unendlichkeit | 90 |
| 2.3.5 | Fibonacci-Folgen | 93 |
| 2.4 | Keine Angst vor komplexen Zahlen! | 95 |
| 2.4.1 | Die Rechenregeln für komplexe Zahlen | 95 |
| 2.4.2 | Die n-ten Einheitswurzeln | 98 |
| 2.4.3 | Die n-ten Wurzeln aus beliebigen Zahlen | 99 |
| 2.4.4 | Komplexe Zahlen näher kennenlernen | 100 |
| 2.4.5 | Beschreibung von stationären Schwingungen | 101 |
| | Elementarmathematik aktivieren | 105 |
| | Checkliste zu Kapitel 2 | 105 |
| | Übungen zum Kapitel 2 | 106 |
| | Miniprojekte zur Elementarmathematik | 111 |
| | Selbsttests zum Kapitel 2 | 113 |
| 3 | Basiswissen zur Linearen Algebra | 115 |
| 3.1 | Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösbarkeit | 115 |
| 3.1.1 | Gleichungssystem und zugehörige Matrizengleichung | 115 |
| 3.1.2 | Die verschiedenen Fälle der Lösbarkeit | 115 |
| 3.1.3 | Die Bedingungen zur eindeutigen Lösbarkeit – Regularität | 116 |
| 3.1.4 | Die wichtigsten Fachausdrücke der Lösbarkeitsdiskussion | 117 |
| 3.1.5 | Lineare Abhängigkeit von Vektoren | 118 |
| 3.1.6 | Der Rang einer Matrix | 123 |
| 3.1.7 | Die Determinante einer Matrix | 123 |
| 3.2 | Anwendungen von linearen Gleichungssystemen | 126 |
| 3.2.1 | Gleichungssysteme aus Tabellenkalkulationen | 126 |
| 3.2.2 | Kirchhoff’sche Netze | 127 |
| 3.2.3 | Statik von Tragwerken | 130 |
| 3.2.4 | Polynombestimmung | 132 |
| 3.3 | Spezielle Matrizen – Schleifenkonstruktionen | 133 |
| 3.3.1 | Definitionen | 133 |
| 3.3.2 | Beispiele zur Schleifenprogrammierung | 133 |
| 3.3.3 | Turmmatrizen | 134 |
| 3.3.4 | Dreiecks- und Tridiagonalmatrizen | 136 |
| 3.3.5 | Dünn besetzte Matrizen | 136 |
| 3.4 | Orthogonalität und Projektionen | 138 |
| 3.4.1 | Orthogonale Vektoren | 138 |
| 3.4.2 | Projektionen von Vektoren | 139 |
| 3.4.3 | Orthogonale Teilräume | 141 |
| 3.4.4 | Orthogonale Matrizen | 141 |
| 3.4.5 | Orthogonalisierungsverfahren | 142 |
| 3.5 | Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme | 145 |
| 3.5.1 | Der Gauß-Algorithmus | 145 |
| 3.5.2 | Der Gauß-Algorithmus mit MATLAB | 147 |
| 3.5.3 | Das Vertauschen von Zeilen: Pivot-Suche | 148 |
| 3.5.4 | Die L-R-Zerlegung | 150 |
| 3.5.5 | Der Gauß–Jordan-Algorithmus | 151 |
| 3.5.6 | Singuläre Systeme | 152 |
| 3.6 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 153 |
| 3.6.1 | Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren | 153 |
| 3.6.2 | Wiederholte Abbildungen durch Matrizen | 155 |
| 3.6.3 | Lösungsmethoden für Eigenwertprobleme | 156 |
| 3.6.4 | Stabilität von Systemen | 158 |
| 3.7 | Probleme mit der endlichen Rechengenauigkeit | 160 |
| 3.7.1 | Die Zahlendarstellung im Computer | 160 |
| 3.7.2 | Auslöschung, Stabilität und Wohldefiniertheit | 163 |
| 3.7.3 | Die Kondition einer Matrix | 166 |
| | Lineare Algebra aktivieren | 167 |
| | Checkliste zu Kapitel 3 | 167 |
| | Übungen zum Kapitel 3 | 168 |
| | Miniprojekte zur linearen Algebra | 177 |
| | Selbsttests zum Kapitel 3 | 178 |
| 4 | Ebenen- und Raumgeometrie | 181 |
| 4.1 | Vektoren in der Elementargeometrie | 181 |
| 4.1.1 | Addition und Subtraktion von Vektoren | 181 |
| 4.1.2 | Produkte zwischen Vektoren | 183 |
| 4.2 | Beispiele aus der Raumgeometrie | 186 |
| 4.2.1 | Geometrische Grundelemente | 186 |
| 4.2.2 | Geometrische Grundaufgaben | 189 |
| 4.3 | Längen und Winkel in höheren Dimensionen | 193 |
| 4.4 | Matrixformulierung geometrischer Abbildungen | 197 |
| 4.5 | Abbildungen in homogenen Koordinaten | 201 |
| 4.5.1 | Das Prinzip der homogenen Koordinaten | 201 |
| 4.5.2 | Homogene Koordinaten in der Ebene | 201 |
| 4.5.3 | Homogene Koordinaten im Raum | 207 |
| | Vektorgeometrie aktivieren | 210 |
| | Checkliste zu Kapitel 4 | 210 |
| | Übungen zum Kapitel 4 | 211 |
| | Miniprojekte zur Raumgeometrie und den Abbildungen | 217 |
| | Selbsttests zum Kapitel 4 | 218 |
| 5 | Faltung und Fourier-Transformation | 221 |
| 5.1 | Die einfache Faltung | 221 |
| 5.1.1 | Das Prinzip der einfachen Faltung | 221 |
| 5.1.2 | Die Faltung als Multiplikation von Polynomen | 223 |
| 5.1.3 | Die Formel zur Faltung von Zahlenfolgen | 224 |
| 5.1.4 | Beispiele von einfachen Faltungen | 225 |
| 5.1.5 | Die Faltung von kontinuierlichen Funktionen | 226 |
| 5.2 | Zirkuläre Faltung – Faltungssatz | 227 |
| 5.2.1 | Die Definition der zirkulären Faltung | 227 |
| 5.2.2 | Der Faltungssatz | 228 |
| 5.2.3 | Zwei- und mehrdimensionale Faltungen | 229 |
| 5.3 | Fourier-Reihen, Fourier-Transformation | 231 |
| 5.3.1 | Definition der Fourier-Reihen | 231 |
| 5.3.2 | Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten | 233 |
| 5.3.3 | Von der Fourier-Analyse zur Fourier-Transformation | 234 |
| 5.4 | Diskrete Fourier-Transformation und FFT | 238 |
| 5.4.1 | Definition der diskreten Fourier-Transformation | 238 |
| 5.4.2 | Aliasing, Nyquist-Frequenz, “sampling” | 239 |
| 5.4.3 | Das Prinzip der schnellen Fourier-Transformation | 240 |
| 5.4.4 | M-Files zur Demonstration des FFT-Prinzips | 243 |
| 5.5 | Die Fourier-Transformation näher kennenlernen | 246 |
| | Faltungs- und Fourier-Theorie aktivieren | 250 |
| | Checkliste zu Kapitel 5 | 250 |
| | Übungen zum Kapitel 5 | 251 |
| | Selbsttest zum Kapitel 5 | 256 |
| 6 | Funktionen von mehreren Variablen | 257 |
| 6.1 | Grundbegriffe der Funktionen von mehreren Variablen | 257 |
| 6.1.1 | Die Funktionsdefinition | 257 |
| 6.1.2 | Grafische Darstellung | 258 |
| 6.1.3 | Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen | 259 |
| 6.1.4 | Illustration der partiellen Ableitung | 260 |
| 6.2 | Das Bilden von partiellen Ableitungen | 263 |
| 6.2.1 | Grundprinzip des partiellen Ableitens | 263 |
| 6.2.2 | Ableitungstabelle für Grundfunktionen | 263 |
| 6.2.3 | Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen | 264 |
| 6.2.4 | Beispiele von partiellen Ableitungen | 265 |
| 6.3 | Partielle Ableitungen und das totale Differential | 266 |
| 6.3.1 | Die Formel für das totale Differential | 266 |
| 6.3.2 | Anwendung zur Berechnung der Volumenausdehnung | 266 |
| 6.3.3 | Empfindlichkeit der Eigenfrequenz | 267 |
| 6.3.4 | Kommerzielle Einflussanalyse | 268 |
| 6.3.5 | Das Optimierungsprinzip in mehreren Variablen | 268 |
| 6.4 | Höhenlinien- und Flächenplots | 270 |
| 6.4.1 | Höhenlinien | 270 |
| 6.4.2 | Dreidimensionale Flächendarstellungen | 271 |
| 6.4.3 | Die Funktion Meshgrid | 273 |
| 6.5 | Ausgleichsrechnung | 274 |
| 6.5.1 | Geradenfit als Beispiel | 274 |
| 6.5.2 | Allgemeine lineare Ausgleichsprobleme | 276 |
| 6.6 | Algorithmen zur Ausgleichsrechnung | 279 |
| 6.6.1 | Normalengleichungen und Fehlergleichungen | 279 |
| 6.6.2 | Singular Value Decomposition | 283 |
| 6.7 | Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren | 285 |
| 6.7.1 | Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen | 285 |
| 6.7.2 | Beispiele für Lagrange-Multiplikatoren | 286 |
| 6.8 | Nichtlineare Gleichungssysteme | 288 |
| | Kenntnisse von Funktionen mehrerer Variablen aktivieren | 290 |
| | Checkliste zum Kapitel 6 | 290 |
| | Übungen zum Kapitel 6 | 291 |
| | Miniprojekt zu den Funktionen mit mehreren Variablen | 297 |
| | Selbsttests zum Kapitel 6 | 298 |
| 7 | Differentialgleichungen | 299 |
| 7.1 | Die Bedeutung von Differentialgleichungen in Physik und Technik | 299 |
| 7.2 | Die Grundtypen von Differentialgleichungen | 301 |
| 7.2.1 | Integrationsprobleme, Quadraturen | 301 |
| 7.2.2 | Gewöhnliche Differentialgleichungen | 301 |
| 7.2.3 | Systeme von Differentialgleichungen | 302 |
| 7.2.4 | Systeme erster Ordnung ersetzen eine Gleichung höherer Ordnung | 303 |
| 7.2.5 | Partielle Differentialgleichungen | 303 |
| 7.3 | Numerische Lösungverfahren für Anfangswertprobleme | 305 |
| 7.3.1 | Das Grundprinzip der Lösung von Anfangswertproblemen | 305 |
| 7.3.2 | Explizite und implizite Verfahren | 306 |
| 7.4 | Quervergleich verschiedener Lösungverfahren | 308 |
| 7.4.1 | Analytische Lösung | 308 |
| 7.4.2 | Lösung durch Laplace-Transformation | 310 |
| 7.4.3 | Numerische Lösung der Differentialgleichung | 310 |
| 7.5 | Prominente Beispiele von Anfangswertproblemen | 313 |
| 7.5.1 | Radioaktive Zerfälle | 313 |
| 7.5.2 | Der schiefe Wurf, ein Körper im Gravitationsfeld | 314 |
| 7.5.3 | Der einfache harmonische Oszillator | 316 |
| 7.5.4 | Ein Oszillator mit Dämpfung und Anregung | 317 |
| 7.5.5 | Geladene Teilchen im Magnetfeld | 318 |
| 7.5.6 | E ×B-Drift: Elektrische und magnetische Felder | 318 |
| 7.5.7 | Die Verhulst-Gleichung | 320 |
| 7.6 | Schnuppern am Chaos | 322 |
| 7.6.1 | Der Lorenz’sche Strange Attractor | 322 |
| | Numerik der Differentialgleichungen aktivieren | 325 |
| | Checkliste zu Kapitel 7 | 325 |
| | Übungen zum Kapitel 7 | 326 |
| | Miniprojekt zu den Differentialgleichungen | 329 |
| | Selbsttest zum Kapitel 7 | 330 |
| 8 | Das Paket “Symbolic Algebra” | 331 |
| 8.1 | Der Anwendungsbereich für symbolische Algebra | 331 |
| 8.1.1 | Quervergleich zur Berechnungsumgebung | 331 |
| 8.1.2 | Manipulation von algebraischen Ausdrücken und lineare Algebra | 334 |
| 8.1.3 | Formale Lösung von Gleichungen, Differential- und Integralproblemen | 337 |
| 8.1.4 | Grenzwerte und Reihenentwicklungen | 338 |
| 8.1.5 | Mehrfach genaues Rechnen | 339 |
| 8.2 | Befehlsstrukturen beim symbolischen Rechnen | 342 |
| 8.2.1 | Symbolic-Befehle in MATLAB | 342 |
| 8.2.2 | Quervergleich zu Maple | 344 |
| 8.2.3 | Definition von symbolischen Funktionen und Variablen | 346 |
| 8.2.4 | Grafik mit Symbolic-Funktionen | 347 |
| 8.3 | Differenzieren | 350 |
| 8.3.1 | Das Prinzip des Differenzierens | 350 |
| 8.3.2 | Einfache Ableitungen | 351 |
| 8.3.3 | Funktionsdiskussionen | 352 |
| 8.3.4 | Partielle Ableitungen | 352 |
| 8.4 | Unbestimmte und bestimmte Integrale | 354 |
| 8.4.1 | Unbestimmte Integrale | 354 |
| 8.4.2 | Bestimmte Integrale | 355 |
| 8.4.3 | Bestimmte Integrale in der Technik | 358 |
| 8.4.4 | Uneigentliche Integrale | 361 |
| 8.4.5 | Fourier- und Laplace-Transformationen | 362 |
| 8.5 | Gleichungen und Gleichungssysteme | 365 |
| 8.5.1 | Die Formulierung von Gleichungssystemen | 365 |
| 8.5.2 | Polynomfaktorisierung | 367 |
| 8.5.3 | Partialbruchzerlegung | 367 |
| 8.5.4 | Analytisch lösbare Differentialgleichungen | 368 |
| 8.6 | Reihenentwicklungen | 370 |
| 8.6.1 | Potenzreihenentwicklungen | 370 |
| | Kenntnisse des symbolischen Rechnensaktivieren | 371 |
| | Checkliste zu Kapitel 8 | 371 |
| | Übungen zum Kapitel 8 | 372 |
| | Miniprojekt zum symbolischen Modus | 373 |
| | Selbsttest zum Kapitel 8 | 374 |
| | Appendix | bl> |
| A | MATLAB professionell einsetzen | 375 |
| A.1 | Erweiterungen in grafischer Richtung | 375 |
| | Audio-Video-Sequenzen und Webinare | 375 |
| | Erstellen von grafischen Benutzeroberflächen mit GUIDE | 376 |
| | Simulink | 376 |
| A.2 | Die Ausdehnung der Einsatzmöglichkeiten | 376 |
| | Erweiterungen im Basispaket | 377 |
| | Zusatzpakete | 377 |
| | Die weltweite Benutzergemeinschaft | 377 |
| B | Beispielsammlung von M-Files | 379 |
| B.1 | M-Files zu den Funktionsplots | 379 |
| | Spezielle Funktionen | 379 |
| | Periodische Funktionen | 379 |
| B.2 | M-Files zur Elementarmathematik | 381 |
| | Kurven in Parameterdarstellung | 381 |
| | Zykloiden | 383 |
| B.3 | M-Files zur linearen Algebra | 386 |
| | Spezielle Matrizen | 386 |
| | Elementare Permutationsmatrix | 386 |
| | Matrix-Algorithmen | 387 |
| | Showtime Gauß-Elimination | 387 |
| | Showtime L-R-Faktorisierung | 388 |
| | Eigenwertprobleme | 392 |
| B.4 | M-Files zur Vektorgeometrie | 393 |
| | Demonstration der Funktionsweise der Hesse’schen Normalform | 393 |
| | Abbildungen in homogenen Koordinaten | 393 |
| | Serienabbildungen der „L“-Figur | 394 |
| B.5 | M-Files zu Faltung und Fourier-Transformation | 396 |
| | Faltungsalgorithmen | 396 |
| | Beispiele und Demos zur Fourier-Transformation | 397 |
| B.6 | M-Files zu den Funktionen mit mehreren Variablen | 400 |
| | Höhenlinien-Plots | 400 |
| | Mehrdimensionales Newton-Verfahren | 400 |
| B.7 | M-Files zu den Differentialgleichungen | 402 |
| B.8 | M-Files zum Paket Symbolic Algebra | 404 |
| B.9 | Universell anwendbare M-Files | 406 |
| | Spezielle Funktionen | 406 |
| | Matrizenoperationen | 407 |
| C | Lösungshinweise | 409 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 1 | 409 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 2 | 413 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 3 | 418 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 4 | 428 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 5 | 432 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 6 | 436 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 7 | 445 |
| | Lösungshinweise zum Kapitel 8 | 450 |
| | Zum guten Ende | 454 |
| | Sachwortverzeichnis | 455 |
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